Versicherungsgesellschaften verlassen sich auf das Gesetz der großen Zahl, um den Wert und die Häufigkeit künftiger Ansprüche, die sie an die Versicherungsnehmer zahlen werden, besser einschätzen zu können. Wenn es perfekt funktioniert, führen Versicherungsgesellschaften ein stabiles Geschäft, die Verbraucher zahlen eine faire und korrekte Prämie, und das gesamte Finanzsystem vermeidet ernsthafte Störungen. Die theoretischen Vorteile des Gesetzes der großen Zahlen halten jedoch in der realen Welt nicht immer stand.

Wichtige Keynotes:

Das Gesetz der großen Zahlen theoretisiert, dass der Mittelwert einer großen Zahl von Ergebnissen den Erwartungswert genau widerspiegelt und dass der Unterschied abnimmt, je mehr Ergebnisse eingeführt werden.

Im Versicherungswesen mit einer großen Anzahl von Versicherungsnehmern wird der tatsächliche Verlust pro Ereignis dem erwarteten Verlust pro Ereignis entsprechen.

Das Gesetz der großen Zahl ist bei Kranken- und Feuerversicherungen, bei denen die Versicherungsnehmer voneinander unabhängig sind, weniger wirksam.

Mit der großen Zahl von Versicherern, die verschiedene Deckungsarten anbieten, steigt die Nachfrage nach Vielfalt, wodurch das Gesetz der großen Zahl weniger vorteilhaft wird.

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der grossen Zahlen stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Statistik. Sie besagt, dass mit zunehmender Stichprobe von Beobachtungen die Variation um die mittlere Beobachtung abnimmt. Mit anderen Worten, der Mittelwert gewinnt an Vorhersagekraft.

Nehmen wir zum Beispiel einen einfachen Versuch, bei dem jemand ein Viertel umdreht. Jedes Mal, wenn das Viertel auf dem Kopf landet, erfasst die Person einen Punkt. Wenn es als Zahl auf Kopf landet, werden keine Punkte aufgezeichnet. Der erwartete Wert eines Münzwurfs in diesem Versuch beträgt 0,5 Punkte, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Viertel auf Kopf landet, nur 50 % beträgt.

Wenn man die Münze nur zweimal wirft, könnte der Durchschnittswert weit vom erwarteten Wert entfernt sein. Aufeinanderfolgende Köpfe ergeben einen Durchschnittswert von einem Punkt, während zwei Schwänze einen Durchschnittswert von Null Punkten ergeben. Wenn man die Anzahl der Beobachtungen erhöht, ergibt sich mit größerer Wahrscheinlichkeit ein Durchschnittswert, der näher am erwarteten Wert liegt. Wenn es 53 Köpfe und 47 Schwänze bei 100 Flips gibt, würde der Durchschnittswert 0,53 betragen, was dem erwarteten Wert von 0,5 sehr nahe kommt.

So funktioniert das Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen bei Versicherungen verstehen:

In der Versicherungswirtschaft ergibt das Gesetz der großen Zahl sein Axiom. Mit zunehmender Zahl der Expositionseinheiten (Versicherungsnehmer) steigt die Wahrscheinlichkeit, dass der tatsächliche Verlust pro Expositionseinheit dem erwarteten Verlust pro Expositionseinheit entspricht. Um es in der ökonomischen Sprache auszudrücken: Es gibt Skalenerträge in der Versicherungsproduktion.

In der Praxis bedeutet dies, dass es einfacher ist, die korrekte Prämie zu ermitteln und dadurch die Risikoexposition für den Versicherer zu verringern, je mehr Policen innerhalb einer bestimmten Versicherungsklasse ausgestellt werden. Eine Versicherungsgesellschaft ist besser dran, wenn sie 500 statt 150 Feuerversicherungspolicen ausstellt, wobei sie von einer stabilen und unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Schadensrisiko ausgeht.

Um es anders zu sehen, nehmen wir an, eine Krankenversicherungsgesellschaft stellt fest, dass fünf von 150 Personen in einem bestimmten Jahr einen schweren und teuren Schaden erleiden werden. Wenn das Unternehmen nur 10 oder 25 Personen versichert, ist es weitaus größeren Risiken ausgesetzt, als wenn es alle 150 Personen versichern kann. Das Unternehmen kann zuversichtlicher sein, dass 150 Versicherte gemeinsam genügend Prämien zahlen, um die Ansprüche von fünf Kunden zu decken, die schwere Verletzungen erleiden.

Besondere Erwägungen

Laut der National Association of Insurance Commissioners (USA) gab es im Jahr 2016 fast 6.000 Versicherungsträger in den Vereinigten Staaten. Einige Träger sind erfolgreicher als andere, die die gleichen oder ähnliche Deckungsarten anbieten. Wenn die Skalenerträge im Versicherungswesen dank des Gesetzes der großen Zahl steigen, warum gibt es dann so viele Versicherungsunternehmen und nicht einige wenige Riesen, die die Branche dominieren?

Erstens sind nicht alle Versicherungsgesellschaften gleich gut im Versicherungsgeschäft. Dazu gehören die Aufrechterhaltung der betrieblichen Effizienz, die Berechnung effektiver Prämien und die Minderung des Verlustrisikos nach der Anmeldung eines Anspruchs. Die meisten dieser Merkmale haben keinen Einfluss auf das Gesetz der großen Zahlen.

Das Gesetz der großen Zahlen wird jedoch weniger wirksam, wenn die risikotragenden Versicherungsnehmer voneinander unabhängig sind. Dies zeigt sich am deutlichsten in der Kranken- und Feuerversicherungsbranche, da Krankheiten und Feuer sich von einem Versicherungsnehmer zum anderen ausbreiten können, wenn sie nicht richtig eingedämmt werden. Dieses Problem wird als Ansteckung bezeichnet.

Es gibt auch potentiell versicherbare Risiken, für die das Gesetz der großen Zahl theoretisch nützlich sein könnte, aber es gibt nicht genügend potentielle Kunden, um es zum Funktionieren zu bringen. Erwägt man den Versuch, eine Stadt gegen das Risiko einer nuklearen oder biologischen Kriegsführung zu versichern. Dazu müssten Tausende oder Millionen von Großstädten Prämien zahlen, um die Kosten für ein realisiertes Risiko auszugleichen. Es gibt nicht genug Städte auf der Welt, um es zum Funktionieren zu bringen.

Schließlich hat jeder Versicherungsnehmer eine individuelle Risikopräferenz, Zeitpräferenz und einen individuellen Preispunkt für Versicherungen. Mit zunehmender Vielfalt der Ansprüche nimmt der potenzielle Nutzen des Gesetzes der großen Zahl ab, weil weniger Menschen ähnliche Deckungsarten wünschen.

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